最近不知道怎么回事，想起了初中一次数学月考的失败。初一刚接触无理数的时候，大结局填了一道难题，满心欢喜地算出了根号2。一切顺利。就在我准备安装成功的时候，我的脑子突然就赶上来了，我不是一个基础知识扎实的好同学。我只是把它忘了，然后写下来。
所以，强调一下无理数的定义：无限非循环小数，也就是不可能精确地写成十进制形式。
这是基础。接下来我们介绍一个大学里与无理数相关的基本例子
这可以用一些基础知识来理解，但可能会比较尴尬。
还有一个会涉及高校高等代数的内容。然而，有了这些知识之后，事情就简单多了
这就是无理数的引入。两种解决方案都涉及到一种证明方法：反证法。下期再介绍这个方法。
有理数的定义和性质（分类公式包括0）
有理数作为一年级上册的知识点，很难理解。要学好这部分知识点，首先要像手背一样了解课本上最基本的定义和概念。
知识点1：有理数及其分类
有理数的定义：有理数是整数(正整数，0，负整数)和分数的统称。正整数和正分数统称为正有理数，负整数和负分数统称为负有理数。因此，有理数集的个数可以分为正有理数、负有理数和零。
有理数可以根据定义或性质来划分，可视化表示可以看如下：
知识扩展：整数对应分数，正数对应负数，0既不是正数也不是负数，既不是整数也不是有理数。
知识点2：正数、负数
定义：大于0的数称为正数，如2、3、3.15等。(”“一般省略不写)；小于0的数字称为负数，如-3(正数前面加“-”)
注意：0既不是正数，也不是负数，它是非正数或非负数。正数和负数以0为界，0是最小的自然数。
知识点3：数轴及其三要素
定义：数轴是指定原点、正方向、单位长度的直线。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度
知识点扩展：01。数轴是可以无限延伸到两端的直线；02.原点的选择、正方向的选择、单位长度的确定都是根据实际需要规定的。
知识点4：相反数
定义：只有两个符号不同的数叫做反数，比如-2和2，6和-6。特别是0的倒数是0。
反数的性质：如果a和b是反数，那么a b=0；反之，如果a b=0，那么如果a和b是反数。
知识延伸：相反的数成对出现，单个数不能说是相反的数，例如8和-8是相反的数：数轴上原点两侧两点所代表的数不一定是相反的数，例如5和-6，只有位于原点两侧且与原点距离相等的两点所代表的数才是相互相反的数；每个数字都有一个相反的数字。
知识点5：绝对值
定义：绝对值是指数轴上一个数的对应点到原点的距离，称为这个数的绝对值，用“| |”表示。例如，数字a的绝对值是|a|，它被读取为a的绝对值(零绝对值0)
几何意义：一个数的绝对值是该数的点到原点的距离。离原点越远，绝对值越大，反之越小。
代数意义：正数和0的绝对值就是它本身，负数的绝对值就是它的倒数。简而言之，一个数的绝对值是非负数
知识延伸：01。有两个数，它们的绝对值是同一个正数，彼此相反；
02.绝对值是一个运算，求一个数的绝对值就是去绝对值符号。如果绝对值数中的数非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值符号中的数为负，则该数的绝对值为其倒数；如果绝对值符号中数字的正负无法判断，则应根据情况进行讨论，如：
有理数和无理数的区别（有理数和无理数的定义）
有理数有无数
无理数也有无数
那谁更多？还是一样多？
无穷大和无穷大，你能比较谁多谁少吗？
数轴上的点对应的是有理数还是无理数？
有理数和无理数在数轴上是如何分布的？
no.1如何比较无穷
当我们比较有限的数量时，我们只需要比较具体的数字.谁更大。鸡有两条腿，兔有四条腿，所以兔子腿更多。,有无数个有理数，也有无数个无理数。在或许我们可以认为是都是无数个，都是数不完的，那就一样多呗，,但事实上，无限也可以分为大小，因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。
如何比较无穷？
所有的正数和负数一样多。
如果在正集合中取任意一个正数，可以在负集合中找到与之对应的唯一负数。例如，取正集合中的1，负集合中的-1，正集合中的，负集合中的-和有一个正数，就会有一个相应的负数。。
我们可以在正集和负集之间建立一一对应关系。所以正数与负数是一样多。
同样的道理，我们可以得出奇数和偶数是一样多的。
任何奇数2n-1都会有与之对应的偶数2n。同样，我们可以建立这种奇偶集一一对应的关系，所以奇数和偶数一样多。
我们把集合中元素的个数叫做集合的基数，比如集合{1}的基数为1，集合{1，2}的基数为2。
判断无限集合基数相等的方法是：能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。
no.2整体可以等于部分
如果关于无穷大的比较就像上面这么简单，那么我们就继续看下去。
所有的偶数和所有的整数一样多。
什么？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起组成整数。为什么偶数和整数一样多？
整数集合里任取一整数n，在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应，所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系，在偶数集里任取一个偶数，在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。
整体等于部分！这是我们在有限里不可能存在的情况，但在无穷集合里，却真真实实地发生了。
如果我们没有感觉到数字，我们来看另一个图形示例。在abc中，假设bc边是2，de是bc边的中位线，那么de=1，取bc边上的一个点m，连接am，那么am一定和de有交集，记录为n.任取一个m点都会有一个n点与其相对应。
这说明：长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点是一样多的！！！
格奥尔格康托尔甚至以此作为无穷集合的定义：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应的关系，它就是无穷集合。
知道了无穷大的性质，我们得出了这样一个结论，：自然数、偶数、整数都是一样多的。.也许你会质疑，既然它们都是无穷大，那么数是一样的。这么多需要讨论的？
是的，这些集合基数相等的原因，是因为它们还有一个共同的特点：可数。
所谓可数，可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来，然后就可以按着这个顺序一直数下去。
例如，自然数，0，1，2，3，4，5.例如偶数，0，2-2，4-4，6-6.而且只要都列出来，就可以建立一一对应，依次对应就好。你甚至不用明白具体的规则是什么，只要是无限的，就可以说集合中的元素。
no.3有理数可数吗？
可数
有理数可以用q/p的形式表示，取正有理数部分。我们可以根据p q值从小到大列出所有的正有理数。具体顺序可以参考下图。
根据以上规则，可以列出所有的正有理数，也可以列出负有理数。
所以有理数集也是可数集。
补充一下可数集概念：能与自然数集建立一一对应关系的集合。
可数集的基数是最小的无穷量，康托尔记录为0(希伯来语，读作“alev零”)。同时，康托尔指出alev零是最小的无穷，那么无穷比alev零大在哪里？
no.4上场吧！无理数
无理数可数吗？或者说实数可数吗？
答案是：no
康托尔用对角线法论证了这一点，证明的过程很短，但是很精致！(妈妈问我为什么跪求来看系列)
考虑整组实数是否可数，我们首先考虑0到1之间的实数是否都是可数的。假设有一个规则可以列出0到1之间的所有实数：
0.1598545445……
0.6589745454……
0.5968974132……
0.9887946456……
0.35215874
87……
0.1659842412……
……
以上数字是随便写的。这时康托尔问，0.267865在哪里……？
你是怎么得到这个号码的？第一个数字的第一个小数加1，第二个数字的第二个小数加1，第三个数字的第三个小数加1，第四个数字的第四个小数加1，即上述数字中的红色数字加1。
if 0.267865.在第n个位置，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1。
简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1。显然这是不可能存在的！
所以没有办法列出所有0-1之间的实数，当然也没有办法列出所有的优点。
像这样的无限叫做不可数无穷.不管你承认与否，它也是无限的，可以分为不同的种类。无理数集和实数集称为不可数集。
取数轴上的一段，由这些连续点组成的集合是不可数集,也称为连续统.基数是c.
no.5 c=1
既然已经明确有理数代表可数无穷，而无理数代表不可数无穷，那么谁更可数或不可数呢？换句话说，0和c哪个更大？
事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0。
无理数是无限非循环小数，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。我们可以把整数和有限小数看成后面所有小数位数都为0的数。比如1.8=1.800000 …，后面的小数位都是0。
现在我们用小数位填充一个数字，需要填充的小数位不计其数，填充的数字都是随机取的，所以取0或者循环数列表的概率是0。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！
怎么样能够比无穷还要多？
对于集合{1}，它有两个子集：空集和{1}，由子集组成的集合的基数为2 ^ 1；对于集合{1，2}，它有四个子集：空集，{1}，{2}，{1，2}，由子集组成的集合的基数为2 ^ 2，以此类推。如果一个集合的基数为n，那么由子集组成的幂集的基数为2 n。
原集合的基数为0怎么办？
事实上，康托尔已经证明出，c=2^0，这里的0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？
康托尔做的不止这些。他还猜想在0和c之间没有其他的无穷大，也就是0之后的下一个无穷大是c，也就是c=1 (1是0之后的一个无穷大)，这就是著名的连续统假说”.在1900年的世界数学家大会上，希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题.的首位
no.6 数轴上见分晓！
至于数轴，我们都知道数轴上的点和实数一一对应。也许有这样一种想法，任何两个有理数之间都有无数个有理数。另外，有理数和有理数，也就是无理数会有差距。我们不知道有多少缺口，但两个有理数之间必然有无数个有理数。
所以有人会说有理数像砖，构成了数轴的主体，无理数像是胶水，把砖与砖之间的缝隙补充完整，构成一条完整的数轴。
从两者的数量对比来看，显然以上的想法大错特错，无理数更像是构成数轴的砖，占据着数轴的绝大部分。说，实际上是这样一个问题：有理数和无理数在数轴上是如何分布的？
让我借狄利克雷函数：
这是把有理数和无理数分开。函数图像是什么样子的？可能是吧？
显然这只能是一种美好的想象，要是能画出来就好了，我就知道有理数和无理数如何分布了。真实存在却画不出来说得就是这个函数，数轴上见不了分晓。
no.7 可数无穷的可加性
说了老半天可数与不可数，却连数轴上的都无法作划分，区别这两个无穷又有什么意义？
有时候需要区分，比如解释什么是长度的时候。
线段由点构成，那为什么点的长度为0而线段长度却不为0？
造成这一误解的主要原因是我们错误地以为既然线段由点构成，那线段的长度就等于点的长度之和。即不断地计算0 0 0 0 ……，按这么算结果应该始终为0才对。
怎么去计算0 0 0 0 ……？先用第一个0加第二个0，再用结果加第三个0，一直这么加下去，以上计算的前提是这里所涉及的无穷必须是可数无穷，只有能先够把它们都先列出来，才能依次进行相加，先有可数才有可加。
但是，问题是，一条线段上的点是可数的还是无穷的？不，它们是无限的，不能枚举，所以000的结果.与线段的长度无关，因为它们之间没有因果关系。
感谢阅读。
有理数是什么范围（哪些分数属于有理数）
1.什么是有理数？为什么叫有理数？
根据教科书，整数和分数统称为有理数。整数描述的对象数是整数，而分数描述的对象数是分开的，不是整数，从字面上很容易理解。有理数是怎么得名的？整数和分数有意义吗？好像不太合理。
这个词起源于古希腊。据说是由古希腊著名数学家、哲学家毕达哥拉斯首先提出，然后传播到西方的。是明朝传教士传到中国的。徐光启当时翻译为“李”。据说“理”在当时的文言文中有“比”的意思(这个意思在网上找不到)，后来传到日本。日本学者将其理解为“理，理”无论是中国还是日本，都有可能这个词的英文单词是“有理数”，rational一般是“合理的、有理性的”，但它的词根ratio的意思是“比和比例”。《剑桥英英词典》解释为“可以表示为两个整数之比的数”，意思是可以表示为两个整数之比的数。
既然是错的，为什么不改正？一是这么久了大家都接受了这个术语，二是也不是完全没有道理。整数和分数在日常生活中出现频率最高，相对容易理解，无理数相对难理解。
2.有理数的分类
要分类，首先要确定分类标准，根据是否是整数，可以分为整数和分数。需要注意的是，整数也包括负整数，分数也包括负分数，0也是整数。
根据数字的大小，以0为分割线，有理数可以分为正有理数、0和负有理数。需要注意的是，正有理数和负有理数都有整数和分数。
